10. 그래프

그래프와 서로소 집합

 

 

10.3 개선된 서로소 집합 알고리즘 코드

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int v, e;
int parent[100001]; // 부모 테이블 초기화

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
    // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if (x == parent[x]) return x;
    return parent[x] = findParent(parent[x]);
}

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int a, int b) {
    a = findParent(a);
    b = findParent(b);
    if (a < b) parent[b] = a;
    else parent[a] = b;
}

int main(void) {
    cin >> v >> e;

    // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    // Union 연산을 각각 수행
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        unionParent(a, b);
    }

    // 각 원소가 속한 집합 출력하기
    cout << "각 원소가 속한 집합: ";
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        cout << findParent(i) << ' ';
    }
    cout << '\n';

    // 부모 테이블 내용 출력하기
    cout << "부모 테이블: ";
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        cout << parent[i] << ' ';
    }
    cout << '\n';
}

 

 

 

10.4 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 코드

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int v, e;
int parent[100001]; // 부모 테이블 초기화

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
    // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if (x == parent[x]) return x;
    return parent[x] = findParent(parent[x]);
}

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int a, int b) {
    a = findParent(a);
    b = findParent(b);
    if (a < b) parent[b] = a;
    else parent[a] = b;
}

int main(void) {
    cin >> v >> e;

    // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    bool cycle = false; // 사이클 발생 여부

    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        // 사이클이 발생한 경우 종료
        if (findParent(a) == findParent(b)) {
            cycle = true;
            break;
        }
        // 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
        else {
            unionParent(a, b);
        }
    }

    if (cycle) {
        cout << "사이클이 발생했습니다." << '\n';
    }
    else {
        cout << "사이클이 발생하지 않았습니다." << '\n';
    }
}

 

 

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크루스칼 알고리즘

 

크루스칼 알고리즘 동작 방식: 간선을 하나씩 확인하면서 신장 트리에 포함을 시킬지 안 시킬지 결정

 

 

 

10.5 크루스칼 알고리즘 구현

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 노드의 개수(V)와 간선(Union 연산)의 개수(E)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int v, e;
int parent[100001]; // 부모 테이블 초기화
// 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
vector<pair<int, pair<int, int> > > edges;
int result = 0;

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
    // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if (x == parent[x]) return x;
    return parent[x] = findParent(parent[x]);
}

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int a, int b) {
    a = findParent(a);
    b = findParent(b);
    if (a < b) parent[b] = a;
    else parent[a] = b;
}

int main(void) {
    cin >> v >> e;

    // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    // 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b, cost;
        cin >> a >> b >> cost;
        // 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
        edges.push_back({cost, {a, b}});
    }

    // 간선을 비용순으로 정렬
    sort(edges.begin(), edges.end());

    // 간선을 하나씩 확인하며
    for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
        int cost = edges[i].first;
        int a = edges[i].second.first;
        int b = edges[i].second.second;
        // 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
        if (findParent(a) != findParent(b)) {
            unionParent(a, b);
            result += cost;
        }
    }

    cout << result << '\n';
}

 

 

 

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위상 정렬

 

위상 정렬을 다루기 전에, 그래프 관련 자료구조에 자주 나타나는 개념들을 알아보자.

 

 

 

10.6 위상 정렬 알고리즘 구현

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 노드의 개수(V)와 간선의 개수(E)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
int v, e;
// 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
int indegree[100001];
// 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
vector<int> graph[100001];

// 위상 정렬 함수
void topologySort() {
    vector<int> result; // 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    queue<int> q; // 큐 라이브러리 사용

    // 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for (int i = 1; i <= v; i++) {
        if (indegree[i] == 0) {
            q.push(i);
        }
    }

    // 큐가 빌 때까지 반복
    while (!q.empty()) {
        // 큐에서 원소 꺼내기
        int now = q.front();
        q.pop();
        result.push_back(now);
        // 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for (int i = 0; i < graph[now].size(); i++) {
            indegree[graph[now][i]] -= 1;
            // 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if (indegree[graph[now][i]] == 0) {
                q.push(graph[now][i]);
            }
        }
    }

    // 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
        cout << result[i] << ' ';
    }
}

int main(void) {
    cin >> v >> e;

    // 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
    for (int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        graph[a].push_back(b); // 정점 A에서 B로 이동 가능
        // 진입 차수를 1 증가
        indegree[b] += 1;
    }

    topologySort();
}